叠加定理与齐次定理

一.叠加定理
   我们以图1（a）所示电路为例来说明线性叠加定理。

图1  叠加定理
该电路的网孔KVL方程为：

联解得：i1=us/(R1+R2)+R2is/(R1+R2)=Gus+αis(1)
其中  G=1/（R1+R2），α=R2/（R1+R2），为两个比例常数，其值完全由电路的结构与参数决定。
由式（1）可见，响应电流i1为激励us与is的线性组合函数，它由两个分量组成，一个分量Gus只与us有关，另一个分量αis只与is有关。当is=0（就是将电流源is开路）时，电路中只有us单独作用。如图1(b)所示。此时得：
i1'=us/(R1+R2)=Gus
当us=0（就是将电压源us短路）时，电路中只有is单独作用，如图1（c）所示。此时得
i1''=isR2/(R2+R1)=αis
由以上三式得：                 i1=i1'+i1''=Gus+αis
此结果说，两个独立电源us与is同时作用时在电路中产生的响应i1，是等于每个独立电源单独作用时在电路中所产生响应i1'与i2''的代数和。将此结论推广即得叠加定理：线性电路中所有独立电源同时作用时在美意个支路中所产生的响应电流或电压，是等于各个独立电源单独作用时在该支路中所产生响应电流或电压的代数和。叠加定理也称叠加性。它说明了线性电路中独立电源作用的独立性。
应用叠加定理时应强调注意以下几点：
（1）.当一个独立电源单独作用时，其它的独立电源应为零值，即独立电压源用短路代替，独立电流源用开路代替。
（2）.叠加时必须注意各个响应分量是代数和，因此要考虑总响应与各个分响应的参考方向或参考极性。当分响应的参考方向或参考极性与总响应的参考方向或参考极性一致时，叠加时取"+"号，反之取"-"号。
（3）.叠加定理不能用于计算电路的功率，因为功率是电流或电压的二次方函数。
例1 图2电路，已知当us=1V,is=1A时，u2=0;当us=10V,is=0时,u2=1V.求us=0,is=10A时的u2值。

图2  例1的电路
解：根据叠加定理，u2应是us和is的线性组合函数，即：
u2=μus+γis 　　　(2)
其中μ和γ为比例常数。将前两组已知数据带入上式有：
μ×1+γ×1=0
μ×10+γ×0=1
联解得μ=0.1,γ=-0.1。再带入式（4-1-2）有：u2=0.1,us=0.1is
再将第三组已知数据带入上式得：u2=0.1×0-0.1×10=-1V
二．用叠加定理分析含受控源电路
    用叠加定理分析含受控源电路，当某一独立源单独作用时，其余的独立源均为零，但所有的受控源均应保留，因为受控源不是激励，且具有电阻性。
例2 用叠加定理求图3（a）电路中的u,i.

图3  例2的电路
解：10V独立电压源单独作用时的电路如图3（b）所示，于是可求得u'=6V,i'=2A.
3A独立电流源单独作用时的电路如图3（c）所示，于是可求得u''=1.2V,i''=-0.6A.故得：
u=u'+u''=7.2V
i=i'+i''=1.4A。
三．齐次定理
    由于线性电阻元件的伏安关系为一条通过u-i平面上坐标原点的直线，故在线性电阻中，当全部激励（独立电压源和独立电流源）同时增大k（k为任意常数）倍时，其响应也相应增大k倍，如图4（a）所示。此结论称为齐次定理，也称齐次性。现说明如下：
因为图4（a）就是图4（a），故给式（3）等号两端同乘以k即有：
ki1=Gkus+αkis
此结果正是齐次定理所表达的内容，如图4（b）所示。

图4    齐次定理
特例：若线性电路中只作用一个独立源，则根据齐次定理，电路中的响应与产生该响应的激励成正比。
需要指出的是，齐次定理与叠加定理是线性电路两个互相独立的性质，不能用叠加定理代替齐次定理，也不能片面认为齐次定理是叠加定理的特例。
同时满足齐次性与叠加性的电路称为线性电路。齐次性与叠加性是线性电路极重要的性质。